Одномерная функция Гаусса

22-01-2015

Математическая функция, называемая Гауссовой функцией, описывается следующей формулой:

 

Формула – функция Гаусса

 

 

 

 

где присутствуют два вещественных числа – параметры μ и σ:

μ – это коэффициент сдвига;
σ – это коэффициент масштаба.

 

Второй параметр – σ – всегда больше нуля, то есть является строго положительным.

 

 

Нормальное распределение

 

Гауссова функция с различными значениями коэффициентовНормальным распределением является распределение вероятностей (закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их появления), которое задается функцией плотности вероятности, для одномерного случая совпадающей с вышеназванной Гауссовской функцией.

 

Параметр μ – это среднее значение математического ожидания распределения, его медиана и мода, а σ – среднеквадратическое отклонение распределения (σ2 – дисперсия).

 

Как видим, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим.

 

Существует понятие стандартного нормального распределения, когда значение математического ожидания равно нулю (μ = 0), а стандартного отклонения – единице (σ = 1).

 

 

Нормальное распределение (функция Гаусса) в природе, приложениях

 

В природе нормальное распределение встречается часто, как и в различных приложениях. К примеру, нормальным распределением хорошо моделируются следующие случайные величины:

  • отклонение при стрельбе;
  • погрешности некоторых измерений (при этом для некоторых измерительных приборов погрешности имеют не нормальные распределения);
  • отдельные характеристики живых существ в популяции.

 

Широкое распространение нормального распределения основано на его бесконечной непрерывной делимости с конечной дисперсией.

 

В теории вероятностей бесконечно делимым распределением называется такое распределение случайной величины, когда представлена она может быть в виде произвольного числа независимых, распределенных одинаково слагаемых.

 

 

Карл ГауссПримечание. Немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс – один из признанных величайших математиков всех времен. Он свободно владел множеством языков. В свое время, когда в молодом возрасте перед ним встал выбор – филология или математика, он выбрал последнюю.

С именем великого ученого связано большое число теорем и различных терминов в математике, физике и астрономии, к которым относится и нормальное распределение (распределение Гаусса).

 

 

С нормальным распределением связано в том числе понятие «аддитивный белый гауссов шум», о котором вы можете прочесть в отдельной статье.